Estude as funções dadas abaixo, determinando raízes, vértice, pontos de intersecção com os eixos, eixo de simetria, gráfico e conjunto imagem:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função quadrática
determinando suas raízes, vértice, pontos de interseção com os eixos, eixo de simetria, gráfico e conjunto imagem. O conteúdo é estudo de parábolas e usaremos a fórmula do discriminante para raízes, a fórmula do vértice e noção de concavidade.
Passo 2
Calculamos o discriminante para ver se há raízes reais.
Como
, não existem raízes reais.
Passo 3
Encontramos o vértice usando
Substituindo em
:
Logo o vértice é
.
Passo 4
Como
, a parábola abre para cima e o eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice:
Passo 5
Interseções com os eixos:
- Eixo
: colocar em , obtém-se , ponto . - Eixo
: seria dado pelas raízes, mas como não há raízes reais, não há interseção.
Passo 6
O valor mínimo de
é
e como a parábola abre para cima, o conjunto imagem é
Passo 7
Gráfico qualitativo: é uma parábola de concavidade para cima, sem interseção com o eixo
, cruzando o eixo
em
, com vértice mínimo em
e eixo de simetria
.
Resposta
raízes: não existem raízes reais
vértice:
eixo de simetria:
interseção com os eixos:
vértice:
eixo de simetria:
interseção com os eixos:
- eixo
em - eixo
: nenhuma
conjunto imagem:
gráfico: parábola com concavidade para cima, vértice em, sem cruzar o eixo .