Estude as funções dadas abaixo, determinando raízes, vértice, pontos de intersecção com os eixos, eixo de simetria, gráfico e conjunto imagem:
f(x)=5 x^{2}-2 x+4

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função quadrática
f(x)=5x^{2}-2x+4
determinando suas raízes, vértice, pontos de interseção com os eixos, eixo de simetria, gráfico e conjunto imagem. O conteúdo é estudo de parábolas e usaremos a fórmula do discriminante para raízes, a fórmula do vértice e noção de concavidade.

Passo 2

Calculamos o discriminante para ver se há raízes reais.
\Delta = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\cdot5\cdot4 = 4-80 = -76.
Como \Delta<0, não existem raízes reais.

Passo 3

Encontramos o vértice usando
x_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2\cdot5} = \frac{1}{5}.
Substituindo em f:
y_{v} = f\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr) =5\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)^{2}-2\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)+4 =\tfrac{1}{5}-\tfrac{2}{5}+4 =\tfrac{19}{5}.
Logo o vértice é \bigl(\tfrac{1}{5},\tfrac{19}{5}\bigr).

Passo 4

Como a=5>0, a parábola abre para cima e o eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice:
x = \frac{1}{5}.

Passo 5

Interseções com os eixos:
  • Eixo Oy: colocar x=0 em f, obtém-se f(0)=4, ponto (0,4).
  • Eixo Ox: seria dado pelas raízes, mas como não há raízes reais, não há interseção.

Passo 6

O valor mínimo de f é y_{v}=\tfrac{19}{5} e como a parábola abre para cima, o conjunto imagem é
\bigl[\tfrac{19}{5},+\infty\bigr).

Passo 7

Gráfico qualitativo: é uma parábola de concavidade para cima, sem interseção com o eixo x, cruzando o eixo y em (0,4), com vértice mínimo em \bigl(\tfrac{1}{5},\tfrac{19}{5}\bigr) e eixo de simetria x=\tfrac{1}{5}.

Resposta

raízes: não existem raízes reais
vértice: \bigl(\tfrac{1}{5},\tfrac{19}{5}\bigr)
eixo de simetria: x=\tfrac{1}{5}
interseção com os eixos:
  • eixo Oy em (0,4)
  • eixo Ox: nenhuma
    conjunto imagem: \bigl[\tfrac{19}{5},+\infty\bigr)
    gráfico: parábola com concavidade para cima, vértice em \bigl(\tfrac{1}{5},\tfrac{19}{5}\bigr), sem cruzar o eixo x.

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