Estude as funções dadas abaixo, determinando raízes, vértice, pontos de intersecção com os eixos, eixo de simetria, gráfico e conjunto imagem:
f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-x+1

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função quadrática
f(x)=\tfrac12x^2 - x + 1
Isso envolve encontrar as raízes, o vértice, os pontos de interseção com os eixos, o eixo de simetria, esboçar o gráfico e determinar o conjunto imagem. Vamos usar a fórmula do vértice x_v=-\tfrac{b}{2a}, a fórmula de Bhaskara para raízes e analisar a concavidade pelo sinal de a.

Passo 2

Para achar a interseção com o eixo y, calculamos f(0).
f(0)=\tfrac12\cdot0^2 - 0 + 1 = 1
Logo o ponto de interseção com o eixo y é (0,1).

Passo 3

O coeficiente a=\tfrac12 é positivo, então a parábola é côncava para cima. O eixo de simetria vem de
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2\cdot\tfrac12} = 1.
Para obter o vértice, calculamos f(1):
f(1) = \tfrac12\cdot1^2 - 1 + 1 = \tfrac12.
Portanto, o vértice é (1,\tfrac12) e o eixo de simetria é a reta x=1.

Passo 4

As raízes reais obedecem à fórmula de Bhaskara, cujo discriminante é
\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4\cdot\tfrac12\cdot1 = 1 - 2 = -1.
Como \Delta<0, não existem raízes reais; a parábola não intercepta o eixo x.

Passo 5

O gráfico é uma parábola voltada para cima, com vértice em (1,\tfrac12) e intercepto em y no ponto (0,1). Não há interceptos com o eixo x. A curva atinge seu mínimo em (1,\tfrac12) e cresce indefinidamente para os lados.

Passo 6

Como a parábola é côncava para cima e tem valor mínimo f(1)=\tfrac12, o conjunto imagem é
\mathrm{Im}(f) = \bigl[\tfrac12,\infty\bigr).

Resposta

Interseção com o eixo y: (0,1)
Eixo de simetria: x=1
Vértice: (1,\tfrac12)
Raízes reais: nenhuma ( \Delta=-1)
Gráfico: parábola côncava para cima, vértice em (1,\tfrac12), sem interceptos com o eixo x
Conjunto imagem: \bigl[\tfrac12,\infty\bigr)

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