Estude as funções dadas abaixo, determinando raízes, vértice, pontos de intersecção com os eixos, eixo de simetria, gráfico e conjunto imagem:
f(x)=-\left(4-3 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função quadrática
f(x) = -\bigl(4 - 3x^2\bigr)
que é uma parábola. Precisamos encontrar as raízes, o vértice, os pontos de intersecção com os eixos, o eixo de simetria, esboçar o gráfico e determinar o conjunto imagem.

Passo 2

Primeiro escrevemos f na forma padrão ax^2 + bx + c.
f(x) = -4 + 3x^2 = 3x^2 + 0\cdot x - 4
Logo a = 3, b = 0 e c = -4.

Passo 3

As raízes vêm de resolver f(x)=0:
3x^2 - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.

Passo 4

O vértice de uma parábola ax^2+bx+c está em
x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2\cdot3} = 0,
e
y_V = f(0) = 3\cdot0^2 - 4 = -4.
Então o vértice é \bigl(0,-4\bigr).

Passo 5

Interseções com os eixos:
  • Eixo x: nos pontos cujas abscissas são as raízes, ou seja
    \displaystyle\bigl(\tfrac{2\sqrt{3}}{3},0\bigr) e \displaystyle\bigl(-\tfrac{2\sqrt{3}}{3},0\bigr).
  • Eixo y: em x=0, temos f(0)=-4, ou seja o ponto (0,-4), que na verdade coincide com o vértice.

Passo 6

O eixo de simetria da parábola é a reta vertical que passa pelo vértice, isto é
x = 0.

Passo 7

Gráfico: é uma parábola com concavidade para cima (pois a=3>0), vértice em (0,-4) e que atravessa o eixo x em \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}.

Passo 8

O conjunto imagem de f é
[-4,\,+\infty),
pois o valor mínimo da parábola é -4, obtido no vértice, e ela cresce para +\infty.

Resposta

Raízes: x = \pm \tfrac{2\sqrt{3}}{3}.
Vértice: \bigl(0,-4\bigr).
Interseções: com x-eixo em \bigl(\pm\tfrac{2\sqrt{3}}{3},0\bigr), com y-eixo em (0,-4).
Eixo de simetria: x=0.
Gráfico: parábola de concavidade para cima, vértice em (0,-4).
Imagem: [-4,\infty).

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