O exame final de um curso de matemática discreta consiste em 50 questões do tipo verdadeiro/falso, cada uma valendo dois pontos, e 25 questões de múltipla escolha, cada uma valendo quatro pontos. A probabilidade de Linda responder a uma questão verdadeiro/falso corretamente é de 0,9 , e a probabilidade de ela responder a uma questão de múltipla escolha corretamente é de 0,8 . Qual é a nota esperada para ela no final?

Passo 1

Resumo do enunciado: o exame tem 50 questões do tipo verdadeiro/falso, cada uma valendo 2 pontos, e 25 questões de múltipla escolha, cada uma valendo 4 pontos. A probabilidade de acerto da Linda em cada verdadeiro/falso é 0,9 e em cada múltipla escolha é 0,8. Vamos usar a linearidade da esperança para calcular a nota esperada.

Passo 2

Definimos para i=1,\dots,50\) a variável aleatória \[X_i = \begin{cases} 2, & \text{se ela acerta a questão \(i de VF},\ 0, & se ela erra. \end{cases}]
Como \Pr(X_i=2)=0,9, temos
\E[X_i] = 2 \cdot 0,9 + 0 \cdot 0,1 = 1,8.
Pela linearidade da esperança, a contribuição total das questões de VF é
\sum_{i=1}^{50} \E[X_i] = 50 \times 1,8 = 90.

Passo 3

Definimos para j=1,\dots,25\) a variável aleatória \[Y_j = \begin{cases} 4, & \text{se ela acerta a questão \(j de múltipla escolha},\ 0, & se ela erra. \end{cases}]
Como \Pr(Y_j=4)=0,8, segue
\E[Y_j] = 4 \cdot 0,8 + 0 \cdot 0,2 = 3,2.
Assim, a contribuição total das questões de múltipla escolha é
\sum_{j=1}^{25} \E[Y_j] = 25 \times 3,2 = 80.

Passo 4

A nota esperada total é a soma das esperanças das duas partes:
\E[\text{nota total}] = 90 + 80 = 170.

Resposta

A nota esperada de Linda no exame é 170 pontos.

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