Qual é o valor esperado quando é comprado um bilhete de loteria de R 1,00 cujo portador ganha R
10
{1,2,3, ···, 50}$ e não ganha nada se o contrário ocorrer?
Passo 1
O enunciado descreve um jogo em que se compra um bilhete por R$
e, se os seis números sorteados em
coincidirem com os do bilhete, ganha-se R$
; caso contrário, não se ganha nada. Queremos calcular o valor esperado do ganho líquido. Para isso usamos a teoria de valor esperado de uma variável aleatória discreta.
Passo 2
Chamemos
o ganho líquido do jogador. Há dois resultados possíveis:
- Se ganhar: o prêmio bruto é R$ , mas pagou R$
pelo bilhete, então o ganho líquido é
- Se ganhar: o prêmio bruto é R$
- Se perder: não ganha nada, mas pagou R$
, então
Passo 3
A probabilidade de ganhar é a de acertar os seis números dentre 50, ou seja
Calculamos
Passo 4
A probabilidade de perder é
Pelo conceito de valor esperado,
Passo 5
Simplificando a expressão:
Resposta
O valor esperado do ganho líquido é aproximadamente R$
, ou seja, em média perde-se R$
por jogo.