Qual é o valor esperado quando é comprado um bilhete de loteria de R 1,00 cujo portador ganha R \ 10 milhões se o bilhete tiver os seis números vencedores escolhidos a partir do conjuntoõú{1,2,3, ···, 50}$ e não ganha nada se o contrário ocorrer?

Passo 1

O enunciado descreve um jogo em que se compra um bilhete por R$ 1 e, se os seis números sorteados em \{1,2,\dots,50\} coincidirem com os do bilhete, ganha-se R$ 10\,000\,000; caso contrário, não se ganha nada. Queremos calcular o valor esperado do ganho líquido. Para isso usamos a teoria de valor esperado de uma variável aleatória discreta.

Passo 2

Chamemos X o ganho líquido do jogador. Há dois resultados possíveis:
- Se ganhar: o prêmio bruto é R$ 10\,000\,000, mas pagou R$ 1 pelo bilhete, então o ganho líquido é
X = 10\,000\,000 - 1 = 9\,999\,999.
- Se perder: não ganha nada, mas pagou R$ 1, então
X = -1.

Passo 3

A probabilidade de ganhar é a de acertar os seis números dentre 50, ou seja
P(\text{ganhar}) = \frac{1}{\binom{50}{6}}.
Calculamos
\binom{50}{6} = \frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45}{6!} = 15\,890\,700.

Passo 4

A probabilidade de perder é
P(\text{perder}) = 1 - \frac{1}{15\,890\,700} = \frac{15\,890\,699}{15\,890\,700}.
Pelo conceito de valor esperado,
E[X] = (9\,999\,999)\,\frac{1}{15\,890\,700} +(-1)\,\frac{15\,890\,699}{15\,890\,700}.

Passo 5

Simplificando a expressão:
E[X] = \frac{9\,999\,999 - 15\,890\,699}{15\,890\,700} = \frac{10\,000\,000}{15\,890\,700} - 1 \approx 0,6291 - 1 = -0,3709.

Resposta

O valor esperado do ganho líquido é aproximadamente R$ -0,37, ou seja, em média perde-se R$ 0,37 por jogo.

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