Qual é a soma esperada dos números que aparecem em dois dados, ambos viciados para que um 3 apareça duas vezes mais que qualquer outro número?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos dois dados independentes e idênticos, cada um viciado de modo que a face 3 tem probabilidade duas vezes maior que cada uma das outras faces. O conteúdo é probabilidade discreta e valor esperado. Vamos calcular a probabilidade de cada face, depois o valor esperado de um dado, e por fim a soma de dois.

Passo 2

Seja p a probabilidade de sair qualquer valor em \{1,2,4,5,6\}. Como P(3)=2p, e a soma de todas as probabilidades é 1, temos:
5p + 2p = 1 \quad\Longrightarrow\quad p = \frac{1}{7}.
Logo P(3)=\tfrac{2}{7} e, para cada k\in\{1,2,4,5,6\}, vale P(k)=\tfrac{1}{7}.

Passo 3

O valor esperado de um único dado é
E(X) \;=\;\sum_{k=1}^6 k\,P(k) \;=\;(1+2+4+5+6)\,\frac{1}{7} \;+\;3\,\frac{2}{7} \;=\;\frac{18 + 6}{7} \;=\;\frac{24}{7}.

Passo 4

Como os dois dados são independentes, a esperança da soma é a soma das esperanças:
E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2) = 2 \times \frac{24}{7} = \frac{48}{7}.

Resposta

A soma esperada é \displaystyle \frac{48}{7}.

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