40 Dê um exemplo de uma função crescente cujo domínio é o intervalo [0,1], mas cuja imagem não é igual ao intervalo [f(0), f (1)].
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de função crescente (isto é, monotonicamente não decrescente) definida em [0,1] cuja imagem não seja igual ao intervalo fechado [f(0),f(1)]. Para isso, basta construir uma função que tenha um salto (discontinuidade para cima) em algum ponto, preservando a monotonicidade.
Passo 2
Definimos a função f:[0,1]\to\mathbb{R}\) por
\[f(x)= \begin{cases} x, & 0\le x<1,\\\\ 2, & x=1. \end{cases}
Aqui temos f(0)=0\] e \(f(1)=2.
Passo 3
Mostramos que f é crescente. Sejam x,y\in[0,1] com x<y.
Se y<1, então f(x)=x<y=f(y).
Se y=1, então f(x)=x<1<2=f(1)=f(y).
Em ambos os casos f(x)<f(y), logo f é estritamente crescente.