40 Dê um exemplo de uma função crescente cujo domínio é o intervalo [0,1], mas cuja imagem não é igual ao intervalo [f(0), f (1)].

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função crescente (isto é, monotonicamente não decrescente) definida em [0,1] cuja imagem não seja igual ao intervalo fechado [f(0),f(1)]. Para isso, basta construir uma função que tenha um salto (discontinuidade para cima) em algum ponto, preservando a monotonicidade.

Passo 2

Definimos a função f:[0,1]\to\mathbb{R}\) por \[f(x)= \begin{cases} x, & 0\le x<1,\\\\ 2, & x=1. \end{cases}
Aqui temos f(0)=0\] e \(f(1)=2.

Passo 3

Mostramos que f é crescente. Sejam x,y\in[0,1] com x<y.
  1. Se y<1, então f(x)=x<y=f(y).
  2. Se y=1, então f(x)=x<1<2=f(1)=f(y).
    Em ambos os casos f(x)<f(y), logo f é estritamente crescente.

Passo 4

A imagem de f é
\Im(f)=\{\,x:0\le x<1\}\cup\{2\}=[0,1)\,\cup\{2\}.
Por outro lado,
[f(0),f(1)]=[0,2].
Claramente \Im(f)\neq[0,2], pois faltam todos os pontos de (1,2).

Resposta

Um exemplo é
f(x)= \begin{cases} x, & 0\le x<1,\\\\ 2, & x=1, \end{cases}
cuja imagem é [0,1)\cup\{2\}, diferente de [f(0),f(1)]=[0,2].

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