Exemplo:
Qual é a posição das circunferências lambda1: x^2+y^2=49 e lambda2: x^2+y^2-6 x-8 y-11=0 ?
Temos:
lambda1 : centro C1(0,0) e raio r1=7
lambda2 : centro C2(3,4) e raio r2=6
dC1 C2=raiz(3-0)^2+(4-0)^2=5
Comparando com a soma dos raios: C1 C2=5 e r1+r2=13, portanto C1 C2<r1+r2, concluímos que lambda1 e lambda2 não podem ser exteriores, nem tangentes exteriormente.
Comparando com a diferença dos raios: C1 C2=5 e r1-r2=1, portanto C1 C2>r1-r2, concluímos que lambda1 e lambda2 não podem ser concêntricas, uma interior à outra ou tangentes interiormente.
Por exclusão, lambda1 e lambda2 são secantes.
Notemos que este é o caso que exige mais cuidado, pois são necessárias duas comparações ( C1 C2<r1+r2 e C1 C2>r1-r2 ); nos demais casos, ao comparar C1 C2 com r1+r2 ou com r1-r2, já podemos tirar a conclusão.

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa de duas circunferências dadas por
lambda1: x^2+y^2=49
e
lambda2: x^2+y^2-6x-8y-11=0
Para isso, precisamos encontrar os centros C1 e C2, os raios r1 e r2, calcular a distância dC1C2 e comparar com r1+r2 e lvert r1-r2rvert.

Passo 2

Determinar centro e raio de cada circunferência:
Para lambda1:
x^2+y^2=49 é já da forma (x-0)^2+(y-0)^2=7^2, então
C1(0,0), r1=7
Para lambda2:
Reescrevendo x^2-6x+y^2-8y=11 por completude do quadrado:
(x-3)^2-9 + (y-4)^2-16 = 11 Longrightarrow (x-3)^2+(y-4)^2=36,
logo
C2(3,4), r2=6

Passo 3

Calcular a distância entre os centros:
dC1C2 =raiz(3-0)^2+(4-0)^2 =raiz9+16 =5

Passo 4

Comparar dC1C2 com a soma dos raios:
r1+r2=7+6=13, dC1C2=5<13
Como d<r1+r2, as circunferências não são exteriores nem tangentes exteriormente.

Passo 5

Comparar dC1C2 com a diferença dos raios:
lvert r1-r2rvert = lvert 7-6rvert =1, dC1C2=5>1
Como d>lvert r1-r2rvert, elas não são concêntricas, nem internas, nem tangentes interiormente.

Resposta

As circunferências lambda1 e lambda2 são secantes.

Exercícios de Livros Relacionados