Um quadrado tem vértices consecutivos A(3,3) e B(4,2). Determine a equação da circunferência circunscrita ao quadrado.

Passo 1

O enunciado dá dois vértices consecutivos de um quadrado, A(3,3) e B(4,2), e pede a equação da circunferência que passa por todos os vértices desse quadrado (circunscrita). Para resolver, usamos que o centro dessa circunferência é o ponto de interseção das diagonais do quadrado e que o raio é metade da diagonal.

Passo 2

Calcular o lado do quadrado e o raio da circunferência. O vetor AB=(4-3,,2-3)=(1,-1).
A distância entre A e B é
AB = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2,
que é o lado s do quadrado. A diagonal tem comprimento
d = sraiz2 = raiz2,raiz2 = 2,
logo o raio da circunferência é
R = d2 = 1

Passo 3

Determinar as coordenadas de um vértice oposto a A, por exemplo C. Note que outro lado AD é a rotação de AB em 90^circ no sentido anti-horário:
AD = (-(-1),,1) = (1,1)
Então o vetor diagonal de A a C é
AC = AB + AD = (1,-1)+(1,1) = (2,0),
e portanto
C = A + AC = (3,3) + (2,0) = (5,3)

Passo 4

O centro O da circunferência é o ponto médio de A e C:
O = l(3+52,,3+32r) = (4,3)

Passo 5

Com centro O(4,3) e raio R=1, a equação da circunferência é
(x-4)^2 + (y-3)^2 = 1

Resposta

(x-4)^2 + (y-3)^2 = 1

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