Calcule a área do círculo que é a solução de x^2+y^2-4 x+6 y+8 <= 0.

Passo 1

O enunciado pede para achar a área da região no plano definida por
x^2+y^2-4x+6y+8 <= 0
O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos completar o quadrado para escrever essa desigualdade na forma de um círculo (x-a)^2+(y-b)^2<= r^2 e depois usar a fórmula da área A=pi r^2.

Passo 2

Separe os termos em x e em y:
x^2-4x e y^2+6y,
e mantenha a constante +8 ao lado.

Passo 3

Complete o quadrado em cada grupo:
x^2-4x = (x-2)^2-4,
y^2+6y = (y+3)^2-9
Substituindo na desigualdade original:
(x-2)^2-4 + (y+3)^2-9 + 8 <= 0
(x-2)^2 + (y+3)^2 -5 <= 0
(x-2)^2 + (y+3)^2 <= 5

Passo 4

Da forma (x-2)^2+(y+3)^2<= 5 reconhecemos um círculo de centro (2,-3) e raio
r = raiz5

Passo 5

Aplicando a fórmula da área de um círculo,
A = pi r^2 = pi (raiz5)^2 = 5pi

Resposta

A área da região é 5pi.

Exercícios de Livros Relacionados