24 Dê um exemplo de um sistema de duas equações lineares com três variáveis que não tenha solução.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de um sistema de duas equações lineares em três variáveis que seja inconsistente, ou seja, não tenha solução. O conteúdo envolvido é sistema linear em \mathbb{R}^3 e a ideia de que duas equações representam planos; para não haver solução, basta que esses planos sejam paralelos e distintos.

Passo 2

Dois planos em \mathbb{R}^3 dados por
a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1}
a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2}
são paralelos se os vetores normais (a_{1},b_{1},c_{1}) e (a_{2},b_{2},c_{2}) forem proporcionais, ou seja, existir k\neq0 tal que
(a_{2},b_{2},c_{2}) = k\,(a_{1},b_{1},c_{1})
e, ao mesmo tempo, d_{2}\neq k\,d_{1}. Nesse caso, não há ponto de interseção entre os planos, logo o sistema é inconsistente.

Passo 3

Basta escolher um k e dois valores de termo independente que quebrem a proporcionalidade. Por exemplo, tomando k=2, d_{1}=1 e d_{2}=3, temos o sistema
x + y + z = 1
2x + 2y + 2z = 3
Os vetores normais são (1,1,1) e (2,2,2)=2\,(1,1,1), mas 3\neq2\cdot1, portanto são dois planos paralelos distintos e não há solução.

Resposta

\begin{cases} x + y + z = 1,\\\\ 2x + 2y + 2z = 3. \end{cases}

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