Exercício 7-17 Fatore:
v^6+1.

Passo 1

O enunciado nos pede para fatorar v^6+1. Aqui vamos usar que isso é uma soma de cubos, pois
v^6+1 = (v^2)^3 + 1^3
O conteúdo será a identidade da soma de cubos.

Passo 2

A identidade para soma de cubos diz
a^3 + b^3 = (a + b),(a^2 - a b + b^2)
Vamos aplicá-la com a = v^2 e b = 1.

Passo 3

Substituindo na fórmula obtemos
v^6 + 1 = (v^2 + 1),l((v^2)^2 - v^2cdot1 + 1^2r) = (v^2 + 1),(v^4 - v^2 + 1)

Passo 4

Para fatorar completamente sobre os reais, analisamos o quadrático em v^2:
v^4 - v^2 + 1
Procuramos uma escrita
v^4 - v^2 + 1 = (v^2 + alpha v + 1),(v^2 - alpha v + 1)
Multiplicando e igualando coeficientes no termo v^2 2 - alpha^2 = -1, ou seja alpha^2 = 3. Logo alpha = raiz3. Assim
v^4 - v^2 + 1 = (v^2 + raiz3,v + 1),(v^2 - raiz3,v + 1)

Resposta

v^6 + 1 = (v^2 + 1),(v^2 + raiz3,v + 1),(v^2 - raiz3,v + 1)

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