Exercício 7-17 Fatore:
x^9+512.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio x^9+512. O conteúdo principal aqui é fatoração de soma de potências, em particular soma de cubos, já que tanto x^9 quanto 512 podem ser escritos como cubos.

Passo 2

Note que
x^9 = l(x^3r)^3
e
512 = 8^3
Logo podemos reescrever
x^9+512 = l(x^3r)^3 + 8^3

Passo 3

Usamos a fórmula da soma de cubos,
a^3 + b^3 = (a+b),(a^2 - ab + b^2),
com a = x^3 e b = 8. Assim,
x^9+512 = (x^3 + 8),l((x^3)^2 - x^3cdot8 + 8^2r) = (x^3 + 8),(x^6 - 8x^3 + 64)

Passo 4

O fator x^3+8 é também soma de cubos, pois 8 = 2^3. Aplicando novamente
a^3 + b^3 = (a+b),(a^2 - ab + b^2)
com a = x e b = 2, temos
x^3 + 8 = (x+2),(x^2 - 2x + 4)

Passo 5

O polinômio x^6 - 8x^3 + 64 não tem fatoração em polinômios de coeficientes racionais (é quadrático em x^3 sem raízes racionais), portanto
a fatoração completa em Q[x] é
(x+2),(x^2 - 2x + 4),(x^6 - 8x^3 + 64)

Resposta

x^9+512 = (x+2),(x^2 - 2x + 4),(x^6 - 8x^3 + 64)

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