Fatore:
t^8-256.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
t^8-256
Esse é um exercício de fatoração de polinômios, em que vamos usar repetidamente a diferença de quadrados e, no caso de t^4+16, a fatoração de soma de biquadrados.

Passo 2

Reconhecemos que
t^8-256 = (t^4)^2 - 16^2,
ou seja, uma diferença de quadrados. Logo
t^8-256 = (t^4 - 16),(t^4 + 16)

Passo 3

Agora fatoramos t^4-16 como outra diferença de quadrados:
t^4 - 16 = (t^2)^2 - 4^2 = (t^2 - 4),(t^2 + 4)

Passo 4

Dentro de t^2-4 há mais uma diferença de quadrados:
t^2 - 4 = (t - 2),(t + 2)
Então
t^4 - 16 = (t - 2)(t + 2)(t^2 + 4)

Passo 5

Falta fatorar t^4 + 16. Usamos a fórmula de soma de biquadrados
t^4 + 2^4 = (t^2 + 2raiz2,t + 4),(t^2 - 2raiz2,t + 4)

Resposta

Juntando tudo, a fatoração completa em R[t] é
t^8-256 = (t - 2),(t + 2),(t^2 + 4),(t^2 + 2raiz2,t + 4),(t^2 - 2raiz2,t + 4)

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