Exercício 7-4 Verifique se são identidades:
(x-1)^3=x^3-3 x^2+3 x-1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a igualdade
(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1
é uma identidade, ou seja, se ela vale para todo x. O conteúdo envolvido é o Teorema Binomial (expansão de potência de binômio).

Passo 2

Aplicando o Teorema Binomial em (x-1)^3, temos:
(x-1)^3 = sumk=0^3 binom3k,x^3-k(-1)^k = binom30x^3(-1)^0 + binom31x^2(-1)^1 + binom32x^1(-1)^2 + binom33x^0(-1)^3
Como binom30=1, binom31=3, binom32=3 e binom33=1, e usando (-1)^1=-1, (-1)^2=1, (-1)^3=-1, obtemos:
(x-1)^3 = 1cdot x^3 + 3cdot x^2(-1) + 3cdot xcdot1 + 1cdot(-1) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1

Passo 3

Como a expansão de (x-1)^3 coincide exatamente com x^3-3x^2+3x-1 para qualquer valor de x, concluímos que a igualdade vale identicamente.

Resposta

A igualdade é uma identidade, pois (x-1)^3 expande-se exatamente em x^3-3x^2+3x-1 para todo x.

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