Exercício 7-18 Verifique que 2 é raiz de x^3-6 x^2+11 x-6 e em seguida fatore esta expressão polinomial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 2 é raiz do polinômio
f(x)=x^3 - 6x^2 + 11x - 6
e em seguida fatorar essa expressão. Vamos usar o Teorema do Resto (ou Teorema das Raízes Racionais) para verificar a raiz e depois aplicar a divisão sintética (Ruffini) para decompor o polinômio.

Passo 2

Para verificar que 2 é raiz, substituímos x=2 em f(x):
f(2)=2^3 - 6cdot 2^2 + 11cdot 2 - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0
Como f(2)=0, concluímos que x-2 é um fator de f(x).

Passo 3

Vamos dividir f(x) por x-2 usando divisão sintética. Colocamos os coeficientes 1,,-6,,11,,-6 e o valor 2:
c|rrrr 2 & 1 & -6 & 11 & -6hline & & 2 & -8 & 6 & 1 & -4 & 3 & 0
O resto é 0 (confirmando a raiz) e o quociente é o polinômio de grau 2 com coeficientes 1,,-4,,3, ou seja,
x^2 - 4x + 3

Passo 4

Agora fatoramos o quadrático x^2 - 4x + 3. Buscamos dois números que multipliquem para 3 e somem -4. Esses números são -1 e -3, pois (-1)times(-3)=3 e (-1)+(-3)=-4. Logo,
x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)

Resposta

A fatoração completa de x^3 - 6x^2 + 11x - 6 é
(x - 2),(x - 1),(x - 3)

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