Para os Exercícios 11-26, calcule as quantidades dadas considerando que и ev estão, ambos, no intervalo \left(0, \frac{\pi}{2}\right) e
cos u=\frac{1}{3} e operatorname{sen} v=\frac{1}{4}
cos \frac{u}{2}

Passo 1

O enunciado dá que u\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) e \cos u=\tfrac{1}{3}, e pede para calcular \cos\frac{u}{2}. Vamos usar a fórmula de ângulo metade do cosseno.

Passo 2

Partimos da identidade de duplicação:
\cos u = 2\cos^2\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr)-1
e isolamos \cos\frac{u}{2}:
\cos\frac{u}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos u}{2}}.

Passo 3

Como u\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr), temos \tfrac{u}{2}\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{4}\bigr), onde o cosseno é positivo. Portanto escolhemos o sinal “ +”.

Passo 4

Substituindo \cos u=\tfrac{1}{3} na fórmula:
\cos\frac{u}{2} =\sqrt{\frac{1+\tfrac{1}{3}}{2}} =\sqrt{\frac{\tfrac{4}{3}}{2}} =\sqrt{\frac{2}{3}} =\frac{\sqrt{6}}{3}.

Resposta

\cos\frac{u}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}.

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