Para os Exercícios 11-26, calcule as quantidades dadas considerando que и ev estão, ambos, no intervalo \left(0, \frac{\pi}{2}\right) e
cos u=\frac{1}{3} e operatorname{sen} v=\frac{1}{4}
\operatorname{sen}(2 v)

Passo 1

O enunciado pede \operatorname{sen}(2v) sabendo que v\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) e \operatorname{sen} v=\tfrac{1}{4}. Para isso vamos usar a identidade de ângulo duplo para seno:
\operatorname{sen}(2v) = 2\,\operatorname{sen} v\,\cos v,
e a relação fundamental da trigonometria para encontrar \cos v:
\operatorname{sen}^2 v + \cos^2 v = 1.

Passo 2

Como \operatorname{sen} v=\tfrac{1}{4}, temos
\cos^2 v = 1 - \operatorname{sen}^2 v = 1 - \Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)^2 = 1 - \tfrac{1}{16} = \tfrac{15}{16}.
Como v está no primeiro quadrante, \cos v>0, logo
\cos v = \sqrt{\tfrac{15}{16}} = \tfrac{\sqrt{15}}{4}.

Passo 3

Substituindo na identidade de ângulo duplo:
\operatorname{sen}(2v) = 2\;\operatorname{sen} v\;\cos v = 2\;\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)\;\Bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr) = \tfrac{2\sqrt{15}}{16} = \tfrac{\sqrt{15}}{8}.

Resposta

\displaystyle \operatorname{sen}(2v)=\frac{\sqrt{15}}{8}

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