Para os Exercícios 11-26, calcule as quantidades dadas considerando que и ev estão, ambos, no intervalo \left(0, \frac{\pi}{2}\right) e
cos u=\frac{1}{3} e operatorname{sen} v=\frac{1}{4}
tan (2 u)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \tan(2u) sabendo que u e v estão em \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr), que \cos u=\tfrac{1}{3} e que \sin v=\tfrac{1}{4}. Aqui vamos usar identidades trigonométricas, em particular a fórmula de ângulo duplo para a tangente.

Passo 2

A partir de \cos u=\tfrac{1}{3} e sabendo que u\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) (onde \sin u>0), usamos a identidade de Pitágoras:
\sin u = \sqrt{1-\cos^2 u} = \sqrt{1-\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^2} = \sqrt{1-\tfrac{1}{9}} = \sqrt{\tfrac{8}{9}} = \frac{2\sqrt2}{3}.

Passo 3

Calculamos então
\tan u = \frac{\sin u}{\cos u} = \frac{\tfrac{2\sqrt2}{3}}{\tfrac{1}{3}} = 2\sqrt2.

Passo 4

Recordando a fórmula do ângulo duplo para tangente:
\tan(2u) = \frac{2\,\tan u}{1 - \tan^2 u}.

Passo 5

Substituindo \tan u=2\sqrt2 na fórmula:
\tan(2u) = \frac{2\cdot(2\sqrt2)}{1 - (2\sqrt2)^2} = \frac{4\sqrt2}{1 - 8} = -\frac{4\sqrt2}{7}.

Resposta

\tan(2u) = -\frac{4\sqrt2}{7}.

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