Nos Exercícios 27 a 41, determine os domínios das funções dadas, faça os gráficos dessas funções, e encontre as funções inversas correspondentes com seus respectivos domínios.
y=raizx-2.

Passo 1

O enunciado pede para a função
y = raizx - 2
determinarmos (1) o domínio, (2) o gráfico e (3) a função inversa com seu domínio. O conteúdo envolvido é o estudo de funções definidas por radicais, transformações de gráficos (translação) e a troca de variáveis para obter a inversa.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que dentro da raiz quadrada só podem aparecer valores não negativos. Então impomos
x - 2 >= 0
que implica
x >= 2
Logo, o domínio de f(x)=raizx-2 é
Df = [2,,infty)

Passo 3

O gráfico de y=raizx-2 é igual ao gráfico de y=raizx, só que deslocado 2 unidades para a direita. Em particular:
  • Começa no ponto (2,0).
  • Cresce lentamente, parecendo metade de parábola deitada.
  • Para cada x>=2, y=raizx-2.
    Se quisermos esboçar, marcamos (2,0), (3,1), (6,2) etc., e ligamos suavemente.

Passo 4

Para encontrar a inversa, chamamos y=raizx-2 e trocamos x por y e vice-versa:
x = raizy - 2
Agora resolvemos para y. Primeiro elevamos ao quadrado:
x^2 = y - 2 Longrightarrow y = x^2 + 2
Isso nos dá
f^-1(x) = x^2 + 2
Para determinar o domínio de f^-1, usamos o fato de que a inversa só está definida onde a função original atingiu valores. Como raizx-2>=0, a imagem de f é [0,infty). Portanto
Df^-1 = [0,,infty)

Resposta

Domínio de f: [2,infty).
Gráfico de f: ramo de raizx deslocado 2 unidades para a direita.
Inversa:
f^-1(x) = x^2 + 2, Df^-1 = [0,infty)

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