Nos Exercícios 27 a 41, determine os domínios das funções dadas, faça os gráficos dessas funções, e encontre as funções inversas correspondentes com seus respectivos domínios.
y=-3+raizx+2.

Passo 1

O enunciado dá a função de radical
y = -3 + raizx+2
e pede (i) o domínio de f, (ii) o esboço do gráfico de f, (iii) a função inversa f^-1 com seu domínio. Vamos usar condições de existência de raiz quadrada, transformações de gráfico e álgebra para achar a inversa.

Passo 2

Para existir raizx+2 precisamos ter
x+2 >= 0
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x >= -2
Portanto o domínio de f é
Dom,f = [-2,infty)
Como raizx+2>=0, segue que
y = -3 + raizx+2>= -3,
ou seja, a imagem de f é [-3,infty).

Passo 3

Para esboçar o gráfico de f note que é a curva y=raiz x deslocada 2 unidades para a esquerda (substituição xto x+2) e 3 unidades para baixo (subtração de 3). O ponto inicial é
x=-2implies y=-3+raiz0=-3,
isto é, (-2,-3). Alguns pontos auxiliares:
x=-1implies y=-3+1=-2, x=2implies y=-3+raiz4=-1, x=7implies y=-3+raiz9=0
A curva cresce lentamente para a direita a partir de (-2,-3).

Passo 4

Para achar a inversa, escrevemos
y = -3 + raizx+2 Longrightarrow y+3 = raizx+2 Longrightarrow (y+3)^2 = x+2
e então
x = (y+3)^2 - 2
Trocando x por f^-1(x) e y por x, obtemos
f^-1(x) = (x+3)^2 - 2
Como o domínio de f^-1 é a imagem de f, temos
Dom,f^-1 = [-3,infty)

Resposta

Domínio de f: ;[-2,infty)
Gráfico de f: curva de raiz x deslocada 2 unidades à esquerda e 3 para baixo, começando em (-2,-3)
Função inversa:
f^-1(x) = (x+3)^2 - 2,
com Dom,f^-1 = [-3,infty).

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