Nos Exercícios 27 a 41, determine os domínios das funções dadas, faça os gráficos dessas funções, e encontre as funções inversas correspondentes com seus respectivos domínios.
y=raizx+1.

Passo 1

O enunciado pede para a função
y = raizx+1
que pertencem ao conteúdo de funções elementares (raiz quadrada): determinar o domínio, esboçar o gráfico e encontrar a função inversa com seu domínio.

Passo 2

Para definir o domínio precisamos que o radicando seja não-negativo:
x + 1 >= 0
Logo,
x >= -1,
ou seja, o domínio de f é [-1,infty). Como a raiz quadrada sempre dá valor não-negativo, a imagem (contradomínio efetivo) é [0,infty).

Passo 3

O gráfico de f(x)=raizx+1 é obtido a partir de y=raizx transladando 1 unidade para a esquerda. Então começa no ponto (-1,0), cresce de forma estritamente crescente e é côncavo para baixo, estendendo-se indefinidamente para xtoinfty.

Passo 4

Para achar a inversa, trocamos x e y em
y = raizx+1
ficando
x = raizy+1
Elevando ao quadrado,
x^2 = y + 1 Longrightarrow y = x^2 - 1
Portanto a inversa é
f^-1(x) = x^2 - 1

Passo 5

O domínio de f^-1 é a imagem de f, ou seja, todos os x para os quais raizx+1 existe como saída: x>=0. Logo o domínio de f^-1 é [0,infty), e a imagem de f^-1 é [-1,infty).

Passo 6

O gráfico de f^-1(x)=x^2-1 restringido a x>=0 é a porção direita da parábola y=x^2-1. Ele é a reflexão do gráfico de f em relação à reta y=x.

Resposta

Domínio de f: [-1,infty)
Gráfico de f: raiz começando em (-1,0), crescente e côncava para baixo.
Função inversa:
f^-1(x) = x^2 - 1,
com domínio [0,infty).

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