Nos Exercícios 27 a 41, determine os domínios das funções dadas, faça os gráficos dessas funções, e encontre as funções inversas correspondentes com seus respectivos domínios.
y=(x-1)^3+1.

Passo 1

O enunciado pede para a função
y = (x - 1)^3 + 1
determinar
– o domínio;
– o gráfico (forma e pontos principais);
– a função inversa e o domínio desta inversa.
O conteúdo é análise de funções elementares (cúbica) e busca de inversa por troca de variáveis e resolução algébrica.

Passo 2

Como y=(x-1)^3+1 é um polinômio em x, não há restrições (raiz par, denominador, logaritmo etc.).
Portanto o domínio de f é
Dom(f)=R

Passo 3

Para esboçar o gráfico, note que é a função base y=x^3 deslocada 1 unidade à direita e 1 para cima. É uma cúbica ímpar, estritamente crescente, com ponto de inflexão em (1,1). Alguns pontos notáveis:
f(0)=(-1)^3+1=-1+1=0l(0,0r),
f(1)=0^3+1=1l(1,1r),
f(2)=1^3+1=2l(2,2r)
Para x<1 desce para -infty e para x>1 cresce para +infty.

Passo 4

Para achar a inversa, trocamos x e y e resolvemos:
x = (y-1)^3 + 1
x - 1 = (y-1)^3
y - 1 = raiz[3],x - 1,
y = raiz[3],x - 1, + 1
Logo
f^-1(x)=raiz[3],x - 1, + 1
Como a cúbica original é bijetora sobre R, a inversa também tem domínio
Doml(f^-1r)=R

Passo 5

O gráfico de f^-1 é a reflexão do gráfico de f em torno da reta y=x. Note que os pontos (0,0), (1,1), (2,2) permanecem fixos, e entre eles a curva é estritamente crescente, com inflexão refletida.

Resposta

Domínio de f: R.
Gráfico de f: cúbica estritamente crescente, inflexão em (1,1), passa por (0,0),(1,1),(2,2).
Inversa:
f^-1(x)=raiz[3],x - 1,+1,
com domínio R.

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