Nos Exercícios 27 a 41, determine os domínios das funções dadas, faça os gráficos dessas funções, e encontre as funções inversas correspondentes com seus respectivos domínios.
.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar
– o domínio;
– o gráfico (forma e pontos principais);
– a função inversa e o domínio desta inversa.
– o domínio;
– o gráfico (forma e pontos principais);
– a função inversa e o domínio desta inversa.
O conteúdo é análise de funções elementares (cúbica) e busca de inversa por troca de variáveis e resolução algébrica.
Passo 2
Como
é um polinômio em
, não há restrições (raiz par, denominador, logaritmo etc.).
Portanto o domínio de é
Portanto o domínio de
Passo 3
Para esboçar o gráfico, note que é a função base
deslocada 1 unidade à direita e 1 para cima. É uma cúbica ímpar, estritamente crescente, com ponto de inflexão em
. Alguns pontos notáveis:
Para
desce para
e para
cresce para
.
Passo 4
Para achar a inversa, trocamos
e
e resolvemos:
Logo
Como a cúbica original é bijetora sobre
, a inversa também tem domínio
Passo 5
O gráfico de
é a reflexão do gráfico de
em torno da reta
. Note que os pontos
,
,
permanecem fixos, e entre eles a curva é estritamente crescente, com inflexão refletida.
Resposta
Domínio de
:
.
Gráfico de : cúbica estritamente crescente, inflexão em
, passa por
.
Inversa:
Gráfico de
Inversa:
com domínio
.