Nos Exercícios 27 a 41, determine os domínios das funções dadas, faça os gráficos dessas funções, e encontre as funções inversas correspondentes com seus respectivos domínios.
y=-raiz-x.

Passo 1

Temos a função
y = -raiz-x
O que precisamos fazer é:
  1. Determinar o domínio de f(x)=-raiz-x.
  2. Esboçar o gráfico de y=-raiz-x.
  3. Encontrar a função inversa f^-1 e seu domínio.

Passo 2

Para que raiz-x exista em R, precisamos de
-,x >= 0
ou seja
x <= 0
Portanto o domínio de f é
Dom(f)=(-infty,0]

Passo 3

Como raiz-x>=0, temos
y=-raiz-x<= 0,
logo a imagem (range) de f é
Im(f)=(-infty,0]

Passo 4

Para esboçar o gráfico, podemos usar a parametrização
t>=0, x=-t, y=-raizt
Alguns pontos notáveis:
(t,x,y)=(0,0,0), (1,-1,-1), (4,-4,-2).
A curva parte de (0,0) e, à medida que x vai a -infty, y também tende a -infty, com inclinação positiva que tende a zero. É o ramo de raiz quadrada refletido pelos eixos, ficando crescente em x (de -infty até 0) e sempre não-positiva em y.

Passo 5

Para achar a inversa, trocamos x e y:
x = -raiz-y
Isolando y:
-!x = raiz-y Longrightarrow (-x)^2 = -y Longrightarrow y = -x^2
Como o domínio de f^-1 é a imagem de f, temos x<=0. Logo
f^-1(x) = -x^2, Dom(f^-1) = (-infty,0]

Resposta

Domínio de f: (-infty,0]
Gráfico de f: ramo de raiz quadrada apontando para o terceiro e quarto quadrantes, partindo de (0,0) e descendo suavemente pelo eixo x<=0.
Função inversa:
f^-1(x) = -x^2, Dom(f^-1) = (-infty,0]

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