Nos exercícios de 13 a 22, encontre uma fórmula para f^{-1}(x). Determine o domínio de f^{-1}, incluindo todas as restrições herdadas de f.
f(x)=\sqrt{x-3}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{x-3}
e pede para encontrar sua inversa f^{-1} e o domínio de f^{-1}, lembrando que o domínio de f^{-1} corresponde à imagem (alcance) de f.

Passo 2

Para achar o domínio e a imagem de f, note que dentro da raiz precisamos de
x-3\ge0
logo
\;x\ge3.
Dessa forma o domínio de f é [3,\infty). Como \sqrt{x-3} produz valores não negativos, a imagem de f é [0,\infty).

Passo 3

Para achar a inversa resolvemos
y=\sqrt{x-3}
e isolamos x:
y^{2}=x-3 \quad\Longrightarrow\quad x=y^{2}+3.
Agora trocamos x por y e y por x para escrever f^{-1}.

Passo 4

Temos então
f^{-1}(x)=x^{2}+3.
Como f^{-1} só faz sentido para os valores que f atinge, o domínio de f^{-1} é a imagem de f, ou seja, [0,\infty).

Resposta

f^{-1}(x)=x^{2}+3, \quad \text{dom}\,f^{-1}=[0,\infty).

Exercícios de Livros Relacionados