Nos exercícios de 13 a 22, encontre uma fórmula para f^{-1}(x). Determine o domínio de f^{-1}, incluindo todas as restrições herdadas de f.
f(x)=\sqrt[3]{x+5}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a fórmula de f^{-1}(x) para a função
f(x) = \sqrt[3]{x+5}
e determinar o domínio de f^{-1}. Para isso vamos usar a definição de função inversa, resolvendo y=f(x) para x e relacionando domínio e contradomínio.

Passo 2

Escrevendo y = \sqrt[3]{x+5} e elevando ambos os lados ao cubo, temos
y^3 = x + 5
Isolando x resulta em x = y^3 - 5. Trocando y por x, obtemos
f^{-1}(x) = x^3 - 5

Passo 3

Como a raiz cúbica é definida e estritamente crescente em \mathbb{R}, o domínio de f é \mathbb{R} e seu contradomínio também é \mathbb{R}. Dessa forma o domínio de f^{-1}, que coincide com o contradomínio de f, é todo \mathbb{R}.

Resposta

A fórmula da inversa é
f^{-1}(x) = x^3 - 5
e o domínio de f^{-1} é \mathbb{R}.

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