Nos exercícios de 13 a 22, encontre uma fórmula para f^{-1}(x). Determine o domínio de f^{-1}, incluindo todas as restrições herdadas de f.
f(x)=\sqrt[3]{x-2}

Passo 1

O enunciado pede a inversa da função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
f(x)=\sqrt[3]{x-2}.
O conteúdo é de funções inversas de bijeções (aqui, raiz cúbica é estritamente crescente e, portanto, invertível). Para achar f^{-1}, escrevemos y=f(x), isolamos x em função de y e, por fim, trocamos as variáveis.

Passo 2

Definindo
y = \sqrt[3]{x-2},
elevamos ao cubo para eliminar a raiz:
y^3 = x - 2 \quad\Longrightarrow\quad x = y^3 + 2.
Trocando x\leftrightarrow y, obtemos
f^{-1}(x) = x^3 + 2.

Passo 3

A função original f está definida para todo x\in\mathbb{R} e sua imagem é também \mathbb{R}, pois a raiz cúbica percorre todos os valores reais. Assim, o domínio de f^{-1}, que é a imagem de f, é
\mathrm{Dom}(f^{-1}) = (-\infty,\infty).

Resposta

f^{-1}(x)=x^3+2,
\mathrm{Dom}\bigl(f^{-1}\bigr)=(-\infty,\infty).

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