Nos exercícios de 1 a 14, para estabelecer uma relação O grande, encontre os parâmetros C e k, tal que |f(x)| \leq C|g(x)| sempre que x>k.
Determine se cada uma destas funções é O(x).
f(x)=5 \log x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
f(x)=5\log x
é O(x). Ou seja, precisamos encontrar constantes C>0 e k tais que
|f(x)| \le C\,|x|
para todo x>k. Aqui g(x)=x.

Passo 2

Usamos a desigualdade elementar \log x < x válida sempre que x>1. Para x>1 temos
|5\log x| = 5\log x \le 5x.

Passo 3

Da desigualdade acima vemos que basta escolher
C = 5 \quad\text{e}\quad k = 1,
pois para todo x>1 vale |5\log x|\le 5x = C\,|x|.

Resposta

f(x)=5\log x é O(x) com C=5 e k=1.

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