Nos exercícios de 1 a 14, para estabelecer uma relação O grande, encontre os parâmetros C e k, tal que |f(x)| \leq C|g(x)| sempre que x>k.
Determine se cada uma destas funções é O\left(x^{2}\right).
f(x)=x^{2}+1000

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x)=x^{2}+1000
e
g(x)=x^{2}
e pede para mostrar que f(x) é O\bigl(x^{2}\bigr), ou seja, encontrar constantes C>0 e k tais que
\bigl|f(x)\bigr|\le C\,\bigl|g(x)\bigr| \quad\text{sempre que }x>k.

Passo 2

Pela definição, dizer que f(x) é O\bigl(x^{2}\bigr) significa que existem C>0 e k tais que, para todo x>k,
\bigl|x^{2}+1000\bigr|\le C\,\bigl|x^{2}\bigr|.

Passo 3

Escolhemos k=1. Para todo x>1 vale \,x^{2}>1, logo
1000 \le 1000\,x^{2}.
Assim, para x>1 temos
\bigl|x^{2}+1000\bigr| = x^{2}+1000 \le x^{2} + 1000\,x^{2} =1001\,x^{2} =1001\,\bigl|x^{2}\bigr|.

Passo 4

Da desigualdade acima segue que, com C=1001 e k=1,
\bigl|f(x)\bigr|\le C\,\bigl|g(x)\bigr| \quad\text{para todo }x>k.
Portanto, f(x)=x^{2}+1000 é O\bigl(x^{2}\bigr).

Resposta

C=1001, k=1. Sim, f(x) é O\bigl(x^{2}\bigr).

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