Nos exercícios 7-10, faça o gráfico da função. Determine seu domínio, sua imagem e as coordenadas das intersecções com os eixos x e y.
y=-2^{-x}-1

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função y=-2^{-x}-1: fazer o gráfico, determinar domínio, imagem e as intersecções com os eixos x e y. Vamos usar conceitos de funções exponenciais, reflexões e translações.

Passo 2

O domínio de uma função exponencial como 2^{-x} é todo o conjunto dos números reais. Logo,
\text{Domínio} = \mathbb{R}.í

Passo 3

Para encontrar a imagem, note que 2^{-x}>0 para todo x. Assim,
-2^{-x}<0 \quad\Longrightarrow\quad y=-2^{-x}-1< -1.
Portanto,
\text{Imagem} = (-\infty,\,-1).

Passo 4

Para a interseção com o eixo y, façamos x=0:
y=-2^{0}-1=-1-1=-2.
Logo o ponto de interseção é (0,-2).

Passo 5

Para a interseção com o eixo x, resolvemos
0=-2^{-x}-1 \quad\Longrightarrow\quad -2^{-x}=1 \quad\Longrightarrow\quad 2^{-x}=-1.
Como 2^{-x}>0, não há solução real. Assim, não existe interseção com o eixo x.

Passo 6

Analisando assíntotas, quando x\to+\infty temos 2^{-x}\to0 e portanto
y\to -0-1=-1.
Há, então, uma assíntota horizontal em y=-1. Quando x\to-\infty, 2^{-x}\to+\infty e y\to-\infty.

Passo 7

Para esboçar o gráfico:
– Marque o ponto (0,-2).
– A curva é decrescente, aproxima-se de y=-1 conforme x\to+\infty e cai para -\infty conforme x\to-\infty.
– É uma reflexão vertical da exponencial 2^{-x} transladada para baixo em 1 unidade.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty, -1)
Interseção com o eixo y: (0,-2)
Interseção com o eixo x: nenhuma
Assíntota horizontal: y=-1

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