Nos exercícios 1 a 8, a região S é limitada por uma ou mais curvas definidas pelas equações dadas. Em cada caso desenhar a região S e determinar as coordenadas
barx e bary do centroide.
x^2 / 3+y^2 / 3=1, x=0, y=0, no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede o centroide (barx,bary) de uma lâmina de densidade constante ocupando a região S no primeiro quadrante limitada pelas retas x=0, y=0 e pela curva
x^2/3+y^2/3=1
Para isso vamos usar as fórmulas
barx=1Aintegral duplaSx,dA e bary=1Aintegral duplaSy,dA,
onde A é a área de S.

Passo 2

Isolando y da curva temos
y=l(1 - x^2/3r)^3/2, 0<= x<=1,;0<= y<=l(1 - x^2/3r)^3/2
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A=integral0^1l(1 - x^2/3r)^3/2dx,
integral duplaSx,dA=integral0^1xl(1 - x^2/3r)^3/2dx,
integral duplaSy,dA=integral0^112l(1 - x^2/3r)^3dx

Passo 3

Calculemos primeiro a área A com a substituição u=x^2/3, dx=tfrac32u^1/2du:
A=integral0^1(1-u)^3/2,32u^1/2du =32Bl(tfrac32,tfrac52r) =32,Gamma(tfrac32),Gamma(tfrac52)Gamma(4) =3pi32

Passo 4

(1) Integral de x,dA:
integral duplaSx,dA =integral0^1x(1 - x^2/3)^3/2dx =32integral0^1u^2(1-u)^3/2du =32Bl(3,tfrac52r) =8105
(2) Integral de y,dA:
integral duplaSy,dA =integral0^1tfrac12(1 - x^2/3)^3dx =12cdot32integral0^1u^1/2(1-u)^3du =8105

Passo 5

Agora as coordenadas do centroide:
barx =1Aintegral duplaSx,dA =81053pi32 =256315pi, bary =1Aintegral duplaSy,dA =256315pi

Resposta

barx=bary=256315pi

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