Prove que se |z1|=|z2|=|z3|=1 e z1+z2+z3=0, então z1, z2 e z3 são os vértices de um triângulo eqüilátero inscrito no círculo unitário de centro na origem. Faça um gráfico.

Passo 1

O enunciado afirma que temos três números complexos ,z1,z2,z3 tais que
|z1|=|z2|=|z3|=1 e z1+z2+z3=0
Queremos mostrar que estes pontos são vértices de um triângulo equilátero inscrito no círculo de raio 1 centrado na origem. Para isso, vamos usar a ideia de “girar” o sistema de modo a simplificar a soma e reconhecer raízes da unidade.

Passo 2

Como |z1|=1, o número z1 (conjugado de z1) também tem módulo 1 e ao multiplicar cada zj por z1 estamos apenas girando todo o sistema sem alterar distâncias nem soma zero. Defina
w1=z1,z1=1, w2=z2,z1, w3=z3,z1
Então |w2|=|z2|,|z1|=1 e similarmente |w3|=1, e a condição de soma vira
w1+w2+w3 =l(z1+z2+z3r)z1 =0;;Longrightarrow;; 1 + w2 + w3 = 0

Passo 3

Da equação
1 + w2 + w3 = 0
vemos que w2 e w3 são as raízes da equação quadrática
w^2+w+1=0
As soluções dessa equação são
w = e^2pi i/3 e w = e^4pi i/3,
ambas de módulo 1 e separadas por 120^circ no círculo unitário.

Passo 4

Voltando aos zj, temos
z2=w2,z1, z3=w3,z1,
ou seja, os pontos z1,z2,z3 são obtidos girando o ponto z1 de forma que os argumentos formem os ângulos
arg(z2)=arg(z1)+2pi/3 e arg(z3)=arg(z1)+4pi/3. Como estão todos em |z|=1, esses arcos iguais de 120^circ produzem cordas de mesmo comprimento, logo o triângulo é equilátero.

Passo 5

Gráfico (descrição): desenhe o círculo unitário centrado na origem. Escolha um ponto z1 na circunferência. A partir dele, conte 120^circ no sentido anti-horário para obter z2 e mais 120^circ para obter z3. Esses três pontos formam um triângulo equilátero inscrito no círculo.

Resposta

Os pontos z1,z2,z3 são vértices de um triângulo equilátero inscrito no círculo unitário.

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