Prove, de um modo geral, que
onde
e
são polinômios convenientes, homogêneos e de grau
nas duas variáveis
e sen
.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, para todo inteiro
, existem polinômios homogêneos de grau
,
tais que, se fizermos
e
, então
O conteúdo principal que vamos usar é a fórmula de De Moivre e o Teorema do Binômio.
Passo 2
Pela fórmula de De Moivre temos
Passo 3
Aplicando o Teorema do Binômio ao lado direito, obtemos
Passo 4
Agora separamos termos de
par (parte real) e
ímpar (parte imaginária).
Para temos
, logo
Para
e para
temos
, logo
Passo 5
Em cada soma todos os monômios têm grau total
ou
. Portanto os dois polinômios
são homogêneos de grau
e satisfazem exatamente
e
.
Resposta
Esses polinômios são homogêneos de grau
e fornecem as expressões gerais de
e
.