Prove, de um modo geral, que
cos n theta & =cos ^n theta-n(n-1)2 cos ^n-2 theta sen^2 theta+ldots & =P(cos theta, sen theta) sen n theta & =n cos ^n-1 theta sen theta-n(n-1)(n-2)6 cos ^n-3 sen^3 theta+ldots & =Q(cos theta, sen theta)
onde P e Q são polinômios convenientes, homogêneos e de grau n nas duas variáveis cos theta e sen theta.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para todo inteiro n>=1, existem polinômios homogêneos de grau n,
P(x,y)e Q(x,y),
tais que, se fizermos x=costheta e y=sintheta, então
cos ntheta = P(costheta,sintheta), sin ntheta = Q(costheta,sintheta)
O conteúdo principal que vamos usar é a fórmula de De Moivre e o Teorema do Binômio.

Passo 2

Pela fórmula de De Moivre temos
cos ntheta + isin ntheta = l(costheta + isinthetar)^n

Passo 3

Aplicando o Teorema do Binômio ao lado direito, obtemos
l(costheta + isinthetar)^n = sumk=0^n binomnk(costheta)^,n-kl(isinthetar)^k

Passo 4

Agora separamos termos de k par (parte real) e k ímpar (parte imaginária).
Para k=2j temos i^2j=(-1)^j, logo
cos ntheta = sumj=0^lfloor n/2rfloor (-1)^jbinomn2j,cos^,n-2jtheta;sin^2jtheta,
e para k=2j+1 temos i^2j+1=(-1)^ji, logo
sin ntheta = sumj=0^lfloor (n-1)/2rfloor (-1)^jbinomn2j+1,cos^,n-2j-1theta;sin^2j+1theta

Passo 5

Em cada soma todos os monômios têm grau total (n-2j)+2j=n ou (n-2j-1)+(2j+1)=n. Portanto os dois polinômios
P(x,y)=sumj=0^lfloor n/2rfloor(-1)^jbinomn2j,x^n-2j,y^2j,
Q(x,y)=sumj=0^lfloor(n-1)/2rfloor(-1)^jbinomn2j+1,x^n-2j-1,y^2j+1
são homogêneos de grau n e satisfazem exatamente
cos ntheta=P(costheta,sintheta) e sin ntheta=Q(costheta,sintheta).

Resposta

P(x,y)=sumj=0^lfloor n/2rfloor(-1)^jbinomn2j,x^n-2j,y^2j, Q(x,y)=sumj=0^lfloor(n-1)/2rfloor(-1)^jbinomn2j+1,x^n-2j-1,y^2j+1
Esses polinômios são homogêneos de grau n e fornecem as expressões gerais de cos ntheta e sin ntheta.

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