A existência e o valor do limite de uma função f(x) quando x tende a x_{0} depende, de alguma maneira, do que acontece quando x=x_{0} ? Explique e exemplifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se a existência e o valor do limite de f(x) quando x\to x_{0} dependem do que acontece em x=x_{0}. O conteúdo envolve a definição formal de limite — baseada apenas em valores de f(x) para x\neq x_{0} próximos de x_{0} — e a ideia de que o valor f(x_{0}) em si não entra nessa definição. Para resolver, vamos usar a definição \varepsilon- \delta de limite e apresentar exemplos ilustrativos.

Passo 2

Pela definição formal, dizemos que
\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-x_{0}|<\delta, vale |f(x)-L|<\varepsilon. Note o detalhe: a condição 0<|x-x_{0}|<\delta exclui o caso x=x_{0}. Isso mostra que, na verificação do limite, nunca usamos o valor de f em x_{0}; só importam os valores de f(x) para x próximo, mas diferente, de x_{0}.

Passo 3

Exemplo 1: defina
f(x)= \begin{cases} x, & x\neq 0,\\\\ 1, & x=0. \end{cases}
Para x\neq 0, f(x)=x, logo ao aproximar x de 0 temos f(x)\to 0. Portanto
\lim_{x\to 0}f(x)=0,
embora f(0)=1. Isso mostra que o valor de f em 0 não altera o limite.

Passo 4

Exemplo 2: considere
g(x)=\frac{x^2-1}{x-1},\quad x\neq 1.
Fatorando x^2-1=(x-1)(x+1), obtemos g(x)=x+1 para x\neq 1. Logo
\lim_{x\to 1}g(x)=2,
mesmo que g(1) não esteja definido (ou pudesse ser definido de outra forma). O limite depende apenas do comportamento de g(x) para x perto de 1, não do valor em 1.

Passo 5

Ambos os exemplos deixam claro que alterar, omitir ou atribuir arbitrariamente o valor de f(x_{0}) não muda nem a existência nem o valor do limite \lim_{x\to x_{0}}f(x). O limite depende exclusivamente dos valores de f em pontos distintos de x_{0} que se aproximam de x_{0}.

Resposta

O limite \lim_{x\to x_{0}}f(x) não depende do que acontece em x=x_{0}; ele é determinado apenas pelo comportamento de f(x) para x próximo, mas diferente, de x_{0}.

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