expanda f(x)=1,0<x<2, em uma série de Fourier-Bessel utilizando funções de Bessel de ordem zero que satisfazem as condições de contorno indicadas.
J_{0}^{\prime}(2 \alpha)=0

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função
f(x)=1,\quad 0<x<2
em uma série de Fourier– Bessel de ordem zero, cujos autovalores \alpha_n\) satisfazem a condição de contorno \[J_{0}'(2\,\alpha_{n})=0.
Para isso vamos usar a teoria de expansão em auto– funções de Bessel, que envolve:
1. encontrar os \alpha_n tais que J_{0}'(2\,\alpha_{n})=0,
2. usar a relação de ortogonalidade
\int_{0}^{2}x\,J_{0}(\alpha_{m}x)\,J_{0}(\alpha_{n}x)\,dx =\begin{cases} \dfrac{2^{2}}{2}\,J_{0}(2\,\alpha_{n})^{2},&n\ge1,\;m=n,\\[6pt] \dfrac{2^{2}}{2},&n=m=0,\\[3pt] 0,&m\ne n, \end{cases}
(3]. determinar os coeficientes
A_{0} =\frac{2}{2^{2}}\int_{0}^{2}x\,f(x)\,dx, \quad A_{n} =\frac{2}{2^{2}\,J_{0}(2\,\alpha_{n})^{2}} \int_{0}^{2}x\,f(x)\,J_{0}(\alpha_{n}x)\,dx,\;n\ge1.]

Passo 2

Os autovalores \alpha_{n} vêm das raízes de
J_{0}'(2\,\alpha)=0 \;\Longrightarrow\; -J_{1}(2\,\alpha)=0 \;\Longrightarrow\; J_{1}(2\,\alpha_{n})=0.
Dessa equação, a primeira raiz é \alpha_{0}=0 (pois J_{1}(0)=0) e, para n\ge1,
\alpha_{n}=\frac{j_{1,n}}{2},
onde j_{1,n} é a n– ésima raiz positiva de J_{1}(z)=0. As auto– funções são
J_{0}(\alpha_{n}x).

Passo 3

Pela ortogonalidade temos para n\ge1:
\int_{0}^{2}x\,J_{0}(\alpha_{n}x)\,J_{0}(\alpha_{n}x)\,dx =\frac{2^{2}}{2}\,J_{0}(2\,\alpha_{n})^{2} =2\,J_{0}(2\,\alpha_{n})^{2},
e para o caso constante ( n=0, \alpha_{0}=0):
\int_{0}^{2}x\,dx=\frac{2^{2}}{2}=2.

Passo 4

Os coeficientes da expansão
f(x)=A_{0}+ \sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,J_{0}(\alpha_{n}x)
são dados por
A_{0} =\frac{2}{2^{2}}\int_{0}^{2}x\cdot1\,dx, \quad A_{n} =\frac{2}{2^{2}\,J_{0}(2\,\alpha_{n})^{2}} \int_{0}^{2}x\cdot1\cdot J_{0}(\alpha_{n}x)\,dx\;(n\ge1).

Passo 5

Calculemos A_{0}:
\int_{0}^{2}x\,dx=\biggl[\frac{x^{2}}{2}\biggr]_{0}^{2}=2,
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A_{0} =\frac{2}{4}\times 2=1.

Passo 6

Para n\ge1 temos
\int_{0}^{2}x\,J_{0}(\alpha_{n}x)\,dx =\frac{2\,J_{1}(2\,\alpha_{n})}{\alpha_{n}}
(padrão de integração de Bessel). Mas J_{1}(2\,\alpha_{n})=0 pelas raízes, então
A_{n} =\frac{2}{4\,J_{0}(2\,\alpha_{n})^{2}}\; \frac{2\,J_{1}(2\,\alpha_{n})}{\alpha_{n}} =0.

Resposta

A expansão de Fourier–Bessel é trivialmente
\boxed{f(x)=1,\quad 0<x<2.}
Ou seja, só aparece o termo constante A_{0}=1 e todos os demais A_{n} são nulos.

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