expanda f(x)=1,0<x<2, em uma série de Fourier-Bessel utilizando funções de Bessel de ordem zero que satisfazem as condições de contorno indicadas. J_{0}^{\prime}(2 \alpha)=0
Passo 1
O enunciado pede para expandir a função
f(x)=1,\quad 0<x<2
em uma série de Fourier– Bessel de ordem zero, cujos autovalores \alpha_n\) satisfazem a condição de contorno
\[J_{0}'(2\,\alpha_{n})=0.
Para isso vamos usar a teoria de expansão em auto– funções de Bessel, que envolve: 1. encontrar os \alpha_n tais que J_{0}'(2\,\alpha_{n})=0, 2. usar a relação de ortogonalidade
\int_{0}^{2}x\,J_{0}(\alpha_{m}x)\,J_{0}(\alpha_{n}x)\,dx
=\begin{cases}
\dfrac{2^{2}}{2}\,J_{0}(2\,\alpha_{n})^{2},&n\ge1,\;m=n,\\[6pt]
\dfrac{2^{2}}{2},&n=m=0,\\[3pt]
0,&m\ne n,
\end{cases}
(3]. determinar os coeficientes A_{0} =\frac{2}{2^{2}}\int_{0}^{2}x\,f(x)\,dx, \quad A_{n} =\frac{2}{2^{2}\,J_{0}(2\,\alpha_{n})^{2}} \int_{0}^{2}x\,f(x)\,J_{0}(\alpha_{n}x)\,dx,\;n\ge1.]