Expanda f(x)=x^{4},-1<x<1, em uma série de FourierLegendre.

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função
f(x)=x^4,\quad -1<x<1
na série de Fourier–Legendre
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,P_n(x).
Para isso, vamos usar a ortogonalidade dos polinômios de Legendre e a fórmula dos coeficientes
a_n=\frac{2n+1}{2}\int_{-1}^{1}x^4\,P_n(x)\,dx.

Passo 2

Como x^4 é função par e P_n tem paridade (-1)^n, os termos com n ímpar dão integral zero. Além disso, sendo x^4 um polinômio de grau 4, só aparecerão n=0,2,4.

Passo 3

Cálculo de a_0:
a_0=\frac{2\cdot0+1}{2}\int_{-1}^{1}x^4\,dx =\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5} =\frac{1}{5}.

Passo 4

Cálculo de a_2. Primeiro, P_2(x)=\tfrac12(3x^2-1), então
\int_{-1}^{1}x^4P_2(x)\,dx =\frac{1}{2}\Bigl(3\!\int_{-1}^{1}x^6\,dx-\!\int_{-1}^{1}x^4\,dx\Bigr) =\frac{1}{2}\Bigl(3\cdot\frac{2}{7}-\frac{2}{5}\Bigr) =\frac{8}{35}.
Multiplicando por \tfrac{2\cdot2+1}{2}=\tfrac{5}{2}, vem
a_2=\frac{5}{2}\cdot\frac{8}{35} =\frac{4}{7}.

Passo 5

Cálculo de a_4. Usamos
P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3).
Então
\int_{-1}^{1}x^4P_4(x)\,dx =\frac{1}{8}\Bigl(35\cdot\frac{2}{9}-30\cdot\frac{2}{7}+3\cdot\frac{2}{5}\Bigr) =\frac{16}{315}.
Multiplicando por \tfrac{2\cdot4+1}{2}=\tfrac{9}{2}, obtemos
a_4=\frac{9}{2}\cdot\frac{16}{315} =\frac{8}{35}.

Passo 6

Reunindo tudo, a expansão de x^4 em série de Legendre é
x^4 =\frac{1}{5}P_0(x) +\frac{4}{7}P_2(x) +\frac{8}{35}P_4(x).

Resposta

x^4 =\frac{1}{5}P_0(x) +\frac{4}{7}P_2(x) +\frac{8}{35}P_4(x).

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