61 Explique por que
(1+\log x)^{2}=\log \left(10 x^{2}\right)+(\log x)^{2}
para todo número x positivo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo x>0, se tem a igualdade
(1+\log x)^{2} = \log\bigl(10 x^{2}\bigr) + (\log x)^{2}.
Aqui vamos usar duas coisas: a fórmula do quadrado da soma (expansão do binômio) e as propriedades dos logaritmos (produto e potência), supondo \log como logaritmo base 10.

Passo 2

Aplicando a expansão do binômio em (1+\log x)^{2}, obtemos
(1+\log x)^{2} = 1 + 2\,\log x + (\log x)^{2}.

Passo 3

Usando a propriedade do logaritmo de produto e de potência, calculamos
\log\bigl(10 x^{2}\bigr) = \log 10 + \log\bigl(x^{2}\bigr) = 1 + 2\,\log x.

Passo 4

Somando (\log x)^{2} a \log(10x^{2}), vem
\log\bigl(10 x^{2}\bigr) + (\log x)^{2} = \bigl(1 + 2\,\log x\bigr) + (\log x)^{2} = 1 + 2\,\log x + (\log x)^{2},
que coincide exatamente com a expansão de (1+\log x)^{2}.

Resposta

Portanto, por expansão do quadrado da soma e pelas propriedades de logaritmo, conclui-se que
(1+\log x)^{2} = \log\bigl(10 x^{2}\bigr) + (\log x)^{2}
para todo x>0.

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