40 Explique por que a curva paramétrica descrita por
\\\left(\cos ^{2} t, \operatorname{sen}^{2} t\\\right)\\, para \(t no intervalo [0, p], é um segmento de reta. Descreva esse segmento de reta.)

Passo 1

O enunciado considera a curva paramétrica
\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(\cos^2t,\sin^2t\bigr)
para t\in[0,\pi].
O conteúdo aqui é curvas paramétricas e uso de identidade trigonométrica para identificar a imagem da curva.

Passo 2

Pela identidade trigonométrica temos, para todo t,
\cos^2t+\sin^2t=1.
Logo os pontos (x,y) satisfazem
x+y=1.

Passo 3

Além disso, como
\cos^2t\ge0 e \sin^2t\ge0,
a imagem está restringida ao primeiro quadrante. Portanto os pontos estão em
\{(x,y)\mid x+y=1,\;x\ge0,\;y\ge0\}.

Passo 4

Para localizar os extremos do conjunto, calculamos:
  • Em t=0:
    \bigl(\cos^2 0,\sin^2 0\bigr)=(1,0).
  • Em t=\frac{\pi}{2}:
    \bigl(\cos^2\!\tfrac{\pi}{2},\sin^2\!\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(0,1).
  • Em t=\pi:
    \bigl(\cos^2\pi,\sin^2\pi\bigr)=(1,0) novamente.
    Assim, ao variar t de 0 a \pi, o ponto vai de (1,0) até (0,1) e retorna a (1,0), percorrendo duas vezes o mesmo segmento.

Resposta

A curva é o segmento de reta que une (1,0) a (0,1), ou seja
\{(x,y)\mid x+y=1,\;0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.

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