62 Explique por que
\frac{1+\log x}{2}=\log \sqrt{10 x}
para todo número x positivo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\frac{1+\log x}{2} = \log \sqrt{10x}
para todo x>0. O conteúdo principal é usar as propriedades de logaritmos: a regra do produto
\log(ab)=\log a+\log b
e a regra da potência
\log(a^c)=c\,\log a.

Passo 2

Reescrevemos a raiz quadrada como potência com expoente \tfrac12:
\sqrt{10x} = (10x)^{\tfrac12}.

Passo 3

Aplicando a regra da potência ao logaritmo de (10x)^{\tfrac12}, obtemos
\log\bigl((10x)^{\tfrac12}\bigr) = \tfrac12\,\log(10x).

Passo 4

Agora usamos a regra do produto em \log(10x):
\log(10x) = \log 10 + \log x = 1 + \log x,
pois \log 10 = 1 na base decimal.

Passo 5

Substituindo \log(10x)=1+\log x em \tfrac12\,\log(10x), vem
\tfrac12\,(1+\log x) = \frac{1+\log x}{2}.
Isso mostra exatamente que
\log\sqrt{10x} = \frac{1+\log x}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1+\log x}{2} = \log \sqrt{10x} para todo x>0.

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