86 Explique por que não existe polinômio p tal que p(x)=2^{x} para todo número real x.
[Dica: Considere o comportamento de p(x) e de 2^{x} para x perto de -\infty.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe polinômio p satisfazendo
p(x)=2^{x}\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
O conteúdo é comparação de comportamentos assintóticos: o que acontece com um polinômio e com a função exponencial quando x\to -\infty.

Passo 2

Considere primeiro a possibilidade de \deg p=0, ou seja, p(x)=C constante.
Se tivéssemos p(x)=2^x para todo x, então 2^x seria constante, o que não ocorre (por exemplo, 2^0=1 e 2^1=2). Logo não pode ser grau zero.

Passo 3

Agora suponha \deg p=n\ge1\). Escreva \[p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0},\quad a_{n}\neq0.
Para x\to -\infty, o termo dominante é a_{n}x^{n}, e portanto
\lim_{x\to -\infty}p(x) =\lim_{x\to -\infty}a_{n}x^{n} = \begin{cases} +\infty,&\text{se \(a_{n}>0 e n é par},\ -\infty,&se a_{n}>0 e n é ímpar,\ -\infty,&se a_{n}<0 e n é par,\ +\infty,&se a_{n}<0 e n é ímpar. \end{cases}]
Em qualquer caso, \bigl|p(x)\bigr|\to+\infty. Por outro lado,
\lim_{x\to -\infty}2^{x}=0.
Logo, para x muito negativo, p(x) e 2^x têm comportamentos incompatíveis; não podem coincidir para todos os x.

Passo 4

Como não funciona nem em grau zero nem em grau \ge1, concluímos que não existe polinômio p tal que p(x)=2^x para todo número real x.

Resposta

Não existe polinômio p que seja igual a 2^x para todo x\in\mathbb{R}, pois um polinômio tende a \pm\infty quando x\to -\infty, enquanto 2^x\to0.

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