50 Explique por que um polígono regular com
lados, cada um com comprimento
, tem área
Passo 1
O enunciado pede a área de um polígono regular com
lados de comprimento
. Para resolver, vamos dividir o polígono em
triângulos isósceles congruentes, usar trigonometria básica para calcular a área de cada um e depois somar.
Passo 2
Cada triângulo tem dois lados iguais ao raio
do circuncírculo e base
. O ângulo central em cada triângulo mede
, então a área de um triângulo é
Somando os
triângulos, a área total do polígono é
Passo 3
Para eliminar
, usamos que a corda correspondente ao ângulo
num círculo de raio
tem comprimento
. Logo,
Passo 4
Substituindo
em
:
Passo 5
Aplicamos as identidades
e
.
Então
e
Então
o que coincide com a expressão pedida.