50 Explique por que um polígono regular com n lados, cada um com comprimento s, tem área
\frac{n \operatorname{sen} \frac{2 \pi}{n}}{4\left(1-\cos \frac{2 \pi}{n}\right)} s^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área de um polígono regular com n lados de comprimento s. Para resolver, vamos dividir o polígono em n triângulos isósceles congruentes, usar trigonometria básica para calcular a área de cada um e depois somar.

Passo 2

Cada triângulo tem dois lados iguais ao raio R do circuncírculo e base s. O ângulo central em cada triângulo mede \frac{2\pi}{n}, então a área de um triângulo é
A_{\triangle} \;=\; \frac12\,R^2 \,\sin\!\frac{2\pi}{n}.
Somando os n triângulos, a área total do polígono é
A \;=\; n\,A_{\triangle} \;=\; \frac{n\,R^2}{2}\,\sin\!\frac{2\pi}{n}.

Passo 3

Para eliminar R, usamos que a corda correspondente ao ângulo \frac{2\pi}{n} num círculo de raio R tem comprimento s. Logo,
s = 2R\,\sin\!\frac{\pi}{n} \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{s}{2\,\sin\!\frac{\pi}{n}}.

Passo 4

Substituindo R em A:
A = \frac{n}{2}\Bigl(\frac{s}{2\sin\frac{\pi}{n}}\Bigr)^{\!2} \sin\!\frac{2\pi}{n} = \frac{n\,s^{2}}{8\,\sin^{2}\frac{\pi}{n}}\,\sin\!\frac{2\pi}{n}.

Passo 5

Aplicamos as identidades
\sin\!\tfrac{2\pi}{n}=2\sin\!\tfrac{\pi}{n}\cos\!\tfrac{\pi}{n}
e
\sin^{2}\!\tfrac{\pi}{n}=\tfrac{1-\cos\!\tfrac{2\pi}{n}}{2}.
Então
A = \frac{n\,s^{2}}{8}\, \frac{2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}} {\tfrac{1-\cos\frac{2\pi}{n}}{2}} = \frac{n\,s^{2}}{4}\, \frac{\sin\!\tfrac{2\pi}{n}}{1-\cos\!\tfrac{2\pi}{n}},
o que coincide com a expressão pedida.

Resposta

A = \frac{n \,\sin\!\tfrac{2\pi}{n}}{4\bigl(1 - \cos\!\tfrac{2\pi}{n}\bigr)}\,s^{2}.

Exercícios de Livros Relacionados