47 Explique por que um polígono regular com n lados cujos vértices são n pontos igualmente espaçados na circunferência unitária tem área \frac{n}{2} \operatorname{sen} \frac{2 \pi}{n}.

Passo 1

O enunciado nos pede a área de um polígono regular de n lados inscrito na circunferência de raio 1. Como todos os vértices estão igualmente espaçados, podemos dividir esse polígono em n triângulos isósceles congruentes com vértice no centro da circunferência. Para resolver, vamos usar trigonometria básica: a fórmula da área de um triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo entre eles.

Passo 2

Considere o centro da circunferência como ponto O e dois vértices consecutivos do polígono como A e B. Os segmentos OA e OB têm comprimento 1 (raio da circunferência). O ângulo \angle AOB é o ângulo central correspondente a um lado do polígono, portanto
\angle AOB = \frac{2\pi}{n}.

Passo 3

A área de cada triângulo OAB pode ser calculada pela fórmula
\text{Área}_{OAB} = \frac{1}{2}\,\bigl(OA\bigr)\,(OB)\,\sin\!\bigl(\angle AOB\bigr).Á
Substituindo OA=OB=1 e \angle AOB = \tfrac{2\pi}{n}, obtemos
\text{Área}_{OAB} = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot \sin\!\Bigl(\frac{2\pi}{n}\Bigr) = \frac{1}{2}\,\sin\!\Bigl(\frac{2\pi}{n}\Bigr).Á

Passo 4

Como o polígono é formado por n desses triângulos congruentes, a área total é
n \times \text{Área}_{OAB} = n \times \frac{1}{2}\,\sin\!\Bigl(\frac{2\pi}{n}\Bigr) = \frac{n}{2}\,\sin\!\Bigl(\frac{2\pi}{n}\Bigr).Á

Resposta

\text{Área} = \frac{n}{2}\,\sin\!\Bigl(\frac{2\pi}{n}\Bigr).Á

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