47 Explique por que um polígono regular com
lados cujos vértices são
pontos igualmente espaçados na circunferência unitária tem área
.
Passo 1
O enunciado nos pede a área de um polígono regular de
lados inscrito na circunferência de raio
. Como todos os vértices estão igualmente espaçados, podemos dividir esse polígono em
triângulos isósceles congruentes com vértice no centro da circunferência. Para resolver, vamos usar trigonometria básica: a fórmula da área de um triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo entre eles.
Passo 2
Considere o centro da circunferência como ponto
e dois vértices consecutivos do polígono como
e
. Os segmentos
e
têm comprimento
(raio da circunferência). O ângulo
é o ângulo central correspondente a um lado do polígono, portanto
Passo 3
A área de cada triângulo
pode ser calculada pela fórmula
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Como o polígono é formado por
desses triângulos congruentes, a área total é