52 Explique por que um polígono regular com n lados cujos vértices são n pontos igualmente espaçados na circunferência unitária tem perímetro
n \sqrt{2-2 \cos \frac{2 \pi}{n}}

Passo 1

O enunciado pede o perímetro de um polígono regular de n lados cujos vértices estão igualmente espaçados na circunferência de raio 1. O conteúdo aqui é geometria de polígonos inscritos em círculos e, em especial, o uso da lei dos cossenos para obter o comprimento de cada lado.

Passo 2

Seja O o centro da circunferência unitária e A e B dois vértices consecutivos do polígono. Como os vértices estão igualmente espaçados, o ângulo central \angle AOB mede \tfrac{2\pi}{n}. Além disso, OA = OB = 1. Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo OAB, o comprimento do lado AB satisfaz
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos\Bigl(\tfrac{2\pi}{n}\Bigr).
Como OA=OB=1, temos
AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2\cdot1\cdot1\cdot \cos\Bigl(\tfrac{2\pi}{n}\Bigr) = 2 - 2\cos\Bigl(\tfrac{2\pi}{n}\Bigr),
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AB = \sqrt{2 - 2\cos\Bigl(\tfrac{2\pi}{n}\Bigr)}.

Passo 3

O perímetro do polígono regular é a soma dos n lados iguais, cada um medindo AB. Portanto,
\text{Perímetro} = n \times AB = n \sqrt{2 - 2\cos\Bigl(\tfrac{2\pi}{n}\Bigr)}.í

Resposta

O perímetro é
n \sqrt{2 - 2\cos\Bigl(\tfrac{2\pi}{n}\Bigr)}.

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