52 Explique por que um polígono regular com
lados cujos vértices são
pontos igualmente espaçados na circunferência unitária tem perímetro
Passo 1
O enunciado pede o perímetro de um polígono regular de
lados cujos vértices estão igualmente espaçados na circunferência de raio 1. O conteúdo aqui é geometria de polígonos inscritos em círculos e, em especial, o uso da lei dos cossenos para obter o comprimento de cada lado.
Passo 2
Seja
o centro da circunferência unitária e
e
dois vértices consecutivos do polígono. Como os vértices estão igualmente espaçados, o ângulo central
mede
. Além disso,
. Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo
, o comprimento do lado
satisfaz
Como
, temos
logo
Passo 3
O perímetro do polígono regular é a soma dos
lados iguais, cada um medindo
. Portanto,
Resposta
O perímetro é