32 Explique por que tanto 0,2 quanto a dízima periódica 0,199999 \ldots representam ambos o número real \frac{1}{5}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as representações decimais 0,2 e a dízima periódica 0,1999\ldots correspondem ao mesmo número real \tfrac{1}{5}. Para isso, vamos usar a noção de expansão decimal de números racionais e a técnica de manipular a dízima periódica por multiplicação por potências de 10.

Passo 2

Para o número decimal 0,2, basta notar que
0,2 = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}.

Passo 3

Seja x = 0,1999\ldots. Multiplicando por 10, obtemos
10x = 1,9999\ldots.
Subtraindo x dessa expressão, vem
10x - x = 9x
e
1,9999\ldots - 0,1999\ldots = 1,8.
Logo,
9x = 1,8.
Como 1,8 = \tfrac{18}{10}, temos
9x = \tfrac{18}{10}\implies x = \tfrac{18}{90} = \tfrac{1}{5}.

Passo 4

Concluímos que
0,1999\ldots = \tfrac{1}{5}
e, pelo passo 2, também 0,2 = \tfrac{1}{5}. Portanto, ambas as representações correspondem ao mesmo número real.

Resposta

Tanto 0,2 quanto 0,1999\ldots representam o número real \tfrac{1}{5}.

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