31 Demonstre que, se |r|<1, então
\sum_{m=1}^{\infty} r^{m}=\frac{r}{1-r}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para qualquer número real r com \lvert r\rvert<1, a série infinita
\sum_{m=1}^{\infty}r^{m}
converge e seu valor é \displaystyle \frac{r}{1-r}.
O conteúdo que vamos usar é a soma parcial de uma série geométrica e o fato de que, se \lvert r\rvert<1, então r^{n}\to0 quando n\to\infty.

Passo 2

Definimos a soma parcial S_{n} da série geométrica até o termo n:
S_{n}=\sum_{m=1}^{n}r^{m}=r+r^{2}+\cdots+r^{n}.
Multiplicamos ambos os lados por (1-r):
(1-r)\,S_{n} =(1-r)\bigl(r+r^{2}+\cdots+r^{n}\bigr).
No lado direito ocorre telescopia:
(1-r)\,S_{n} =r + r^{2} + \cdots + r^{n} -\bigl(r^{2}+r^{3}+\cdots+r^{n+1}\bigr) =r - r^{n+1}.
Logo,
S_{n}=\frac{r - r^{n+1}}{1-r}.

Passo 3

Como \lvert r\rvert<1, sabemos que r^{n+1}\to0 quando n\to\infty. Tomando o limite em S_{n}, obtemos:
\lim_{n\to\infty}S_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{r - r^{n+1}}{1-r} =\frac{r-0}{1-r} =\frac{r}{1-r}.
Isso mostra que a série converge e seu somatório é \dfrac{r}{1-r}.

Resposta

\sum_{m=1}^{\infty}r^{m}=\frac{r}{1-r} \quad\text{para todo \(\lvert r\rvert<1\).}

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