31 Demonstre que, se
, então
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para qualquer número real
com
, a série infinita
converge e seu valor é
.
O conteúdo que vamos usar é a soma parcial de uma série geométrica e o fato de que, se , então
quando
.
O conteúdo que vamos usar é a soma parcial de uma série geométrica e o fato de que, se
Passo 2
Definimos a soma parcial
da série geométrica até o termo
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
No lado direito ocorre telescopia:
Logo,
Passo 3
Como
, sabemos que
quando
. Tomando o limite em
, obtemos:
Isso mostra que a série converge e seu somatório é
.