28 Quais sequências aritméticas têm um limite?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre sequências aritméticas e quais delas têm limite finito. Lembra que uma sequência aritmética é dada por
a_n = a_1 + (n-1)\,d
onde a_1 é o primeiro termo e d a diferença comum.

Passo 2

Para analisar o limite de (a_n), examinamos o comportamento quando n\to\infty. Se d>0, cada termo cresce sem parada e
\lim_{n\to\infty}a_n = +\infty.
Se d<0, cada termo decresce sem parada e
\lim_{n\to\infty}a_n = -\infty.

Passo 3

A única situação em que (a_n) não “vai para infinito” nem “vai para menos infinito” é quando d=0. Nesse caso
a_n = a_1 + (n-1)\cdot 0 = a_1
para todo n, ou seja, a sequência é constante.

Resposta

Somente as sequências aritméticas com d=0, isto é, as constantes a_n = a_1, têm limite (igual a a_1).

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