Explique por que toda função f com crescimento exponencial pode ser representada por uma fórmula do tipo f(x)=c \cdot 3^{k x}, para escolhas apropriadas de c e de k.

Passo 1

Função de crescimento exponencial quer dizer que existem constantes positivas A e a tais que, para todo x,
f(x)=A\cdot a^{\,x}.
Nosso objetivo é reescrever essa mesma expressão no formato
f(x)=c\cdot 3^{\,k x}
definindo adequadamente c e k.

Passo 2

Primeiro, igualamos os coeficientes em x=0. Como
f(0)=A\cdot a^{0}=A,
devemos ter também
f(0)=c\cdot 3^{k\cdot0}=c.
Logo escolhemos
c = f(0)=A.

Passo 3

Em seguida, comparamos em x=1. De um lado temos
f(1)=A\cdot a^{1}=A\,a,
e do outro
f(1)=c\cdot 3^{k\cdot1}=c\,3^{k}.
Como c=A, isso impõe
A\,a = A\,3^{k} \quad\Longrightarrow\quad a = 3^{k}.
Para encontrar k, aplicamos logaritmo na base 3:
k = \log_{3}(a).

Resposta

Definindo
c = f(0), \qquad k = \log_{3}\bigl(a\bigr),
onde a é a base original do crescimento exponencial, obtemos
f(x)=c\cdot3^{k x}.

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