Explique como as três fórmulas
(a) \frac{d}{d x}\left(x^{n}\right)=n x^{n-1}
(b) \frac{d}{d x}(c u)=c \frac{d u}{d x}
(c) \frac{d}{d x}\left(u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}\right)=\frac{d u_{1}}{d x}+\frac{d u_{2}}{d x}+\cdots+\frac{d u_{n}}{d x}
nos permitem derivar qualquer polinômio.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, usando as regras
(a) \frac{d}{d x}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1},
(b) \frac{d}{d x}\bigl(c\,u\bigr)=c\,\frac{d u}{d x},
(c) \frac{d}{d x}\bigl(u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}\bigr)=\frac{d u_{1}}{d x}+\frac{d u_{2}}{d x}+\cdots+\frac{d u_{n}}{d x},
conseguimos derivar qualquer polinômio. Vamos considerar um polinômio genérico e aplicar passo a passo essas três regras.

Passo 2

Seja o polinômio
p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0,
onde cada a_i é constante. Pela regra da soma (c),
\frac{d}{d x}p(x) =\frac{d}{d x}\bigl(a_n x^n\bigr) +\frac{d}{d x}\bigl(a_{n-1}x^{n-1}\bigr) +\cdots +\frac{d}{d x}\bigl(a_1 x\bigr) +\frac{d}{d x}\bigl(a_0\bigr).

Passo 3

Em cada termo \frac{d}{d x}(a_i x^i), usamos a regra do fator constante (b), pois a_i é constante:
\frac{d}{d x}\bigl(a_i x^i\bigr) = a_i \,\frac{d}{d x}\bigl(x^i\bigr).

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência (a) em \frac{d}{d x}(x^i):
\frac{d}{d x}\bigl(x^i\bigr)=i\,x^{\,i-1}.
Logo, para cada i\ge1,
\frac{d}{d x}\bigl(a_i x^i\bigr) = a_i\,(i\,x^{\,i-1})=i\,a_i\,x^{\,i-1},
e para o termo constante a_0 temos \frac{d}{d x}(a_0)=0.

Passo 5

Somando tudo, obtemos
p'(x) =\sum_{i=1}^{n}i\,a_i\,x^{\,i-1} = n\,a_n\,x^{\,n-1} + (n-1)\,a_{n-1}\,x^{\,n-2} + \cdots + 1\cdot a_1\,x^{0}.

Resposta

\frac{d}{d x}\bigl(a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\bigr) =\sum_{i=1}^{n}i\,a_i\,x^{\,i-1}.

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