Expreesse a área total e o volume de um cubo:
a) em função da medida da diagonal da face (f);
b) em função da medida da sua diagonal (d).
a) em função da medida da diagonal da face (f);
b) em função da medida da sua diagonal (d).
Passo 1
O enunciado pede para expressar a área total e o volume de um cubo em função de duas diagonais: a diagonal de uma face, que chamaremos de
, e a diagonal espacial (do cubo), que chamaremos de
. Para isso, vamos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar o lado do cubo com cada diagonal e depois empregar as fórmulas
e
onde
é a aresta do cubo.
Passo 2
Vamos relacionar
com a diagonal de uma face
. Numa face quadrada de lado
, vale
Logo
Passo 3
Substituindo
em
e
:
Passo 4
Agora relacionamos
com a diagonal espacial
. Pelo Teorema de Pitágoras no espaço,
Logo
Passo 5
Substituindo
em
e
:
Resposta
a) Em função de
:
b) Em função de
: