Expreesse a área total e o volume de um cubo:
a) em função da medida da diagonal da face (f);
b) em função da medida da sua diagonal (d).

Passo 1

O enunciado pede para expressar a área total e o volume de um cubo em função de duas diagonais: a diagonal de uma face, que chamaremos de f, e a diagonal espacial (do cubo), que chamaremos de d. Para isso, vamos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar o lado do cubo com cada diagonal e depois empregar as fórmulas
A = 6a^2
e
V = a^3
onde a é a aresta do cubo.

Passo 2

Vamos relacionar a com a diagonal de uma face f. Numa face quadrada de lado a, vale
f^2 = a^2 + a^2 = 2a^2
Logo
a = fraiz2

Passo 3

Substituindo a = tfracfraiz2 em A e V:
A = 6a^2 = 6l(fraiz2r)^2 = 6f^22 = 3f^2,
V = a^3 = l(fraiz2r)^3 = f^3(raiz2)^3 = f^32raiz2

Passo 4

Agora relacionamos a com a diagonal espacial d. Pelo Teorema de Pitágoras no espaço,
d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2
Logo
a = draiz3

Passo 5

Substituindo a = tfracdraiz3 em A e V:
A = 6a^2 = 6l(draiz3r)^2 = 6d^23 = 2d^2,
V = a^3 = l(draiz3r)^3 = d^3(raiz3)^3 = d^33raiz3

Resposta

a) Em função de f:
A = 3f^2
V = dfracf^32raiz2
b) Em função de d:
A = 2d^2
V = dfracd^33raiz3

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