Exprima mediante fatoriais 2 cdot 4 cdot 6 cdot 8 cdot ldots cdot(2 cdot n).

Solução

& 2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2 n)=(2 cdot 1) cdot(2 cdot 2) cdot(2 cdot 3) cdot ldots cdot(2 cdot n)= & =underbrace(2 cdot 2 cdot 2 cdot ldots cdot 2)n fatores (1 cdot 2 cdot 3 cdot ldots cdot n)=2^n cdot n!

Passo 1

O enunciado pede para escrever o produto dos primeiros n números pares
2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot (2n)
em termos de fatoriais. Para isso, vamos usar a propriedade de fator comum em produtos e a definição de fatorial:
n! = 1 cdot 2 cdot 3 cdot dots cdot n

Passo 2

Reescrevendo cada termo como 2 vezes um inteiro, temos
2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot (2n) = (2cdot 1),(2cdot 2),(2cdot 3),dots,(2cdot n)
Como são n fatores iguais a 2, podemos agrupá-los:
(2cdot 1),(2cdot 2),dots,(2cdot n) = 2^n ,l(1cdot 2cdot 3cdot dotscdot nr) = 2^n ,n!

Resposta

2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot (2n) = 2^n ,n!

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